TEORíA DE LA RELATIVIDAD EXPLICADA

Octubre 2009

La relatividad es una de las grandes unificaciones de las leyes de la naturaleza que ha habido en la historia

1. Newton había descubierto unas leyes que explicaban tanto en movimiento de los cuerpos celestes como de los terrestres.

2. Maxwell había logrado unificar en un solo set de leyes, la explicación del magnetismo, electricidad e incluso la luz. Así que en 1900 había dos sets de leyes: una para los cuerpo y otra para las ondas.

3. La relatividad logró un set de ecuaciones que explican cuerpos y ondas.
La relatividad se descubrió tratando de resolver unas interrogantes de la física del 1900
No fue tratando de hacer una “unificación”: en aquel momento nadie sentía la necesidad de que hubiera un único set de leyes, para los distintos ámbitos. Lo descubrió tratando de resolver dos problemas primero (más adelante trataría de resolver la gravedad):

1. ¿Por qué no se podía medir la velocidad absoluta de la Tierra respecto al éter?

2. ¿Era la luz una onda o una partícula?

Para explicar mejor el mundo, la Relatividad hizo tres ajustes a la física clásica
Resolviendo estos interrogantes, hizo tres ajustes a física clásica (Newton + Maxwell), y llegó a la nueva física: la relativista.
1. Tratando de resolver la primea pregunta, por qué no se detecta el efecto del éter, llegó a la conclusión había que rechazar que el espacio era algo absoluto, fuera de las cosas, sino que el espacio había que verlo como otra “cosa” más. Las teorías de Newton y Maxwell concebían el espacio como lleno de un “éter”, como si fuera una sustancia, aunque fuera en el vacío. En la mecánica de newtoniana, ese éter explicaba la inercia que experimentaban los cuerpos al cambiar de movimiento. En la electromagnética de Maxwell ese éter explicaba cómo se desplazaban las ondas. Es decir, a principios del siglo 20 se pensaba que el espacio era absoluto, era un transfondo en el que estaban colocadas las cosas, pero que estaban fuera de las cosas.

2. También había que ajustar la Segunda Ley F = m a. Diciendo que, cuando se aplica energía a un objeto, su masa aumenta. Sólo es perceptible para objetos muy pequeños (electrones) o fuerzas muy grandes (cósmicas). De aquí se concluye que la masa se puede transformar en energía (e=mc2) , el fundamento de la bomba atómica.

3. Estableció que había algo absoluto: la velocidad de la luz: no dependía de la velocidad del objeto que la emitiera. No se cumple la suma de velocidades que en Newton se da cuando dos cosas caminan en direcciones opuestas.
Más adelante, incorporó la fuerza de la gravedad a sus ecuaciones, y llegó a la conclusión de que la gravedad es un torcimiento en el espacio, que hace que dos cosas se muevan hacia ellas.
Einstein consiguió un set de ecuaciones que explicaban todos los movimientos en el Universo
La ecuación de Einstein se lee así:
Curvatura de Espacio-Tiempo = Una constante x Distribución de la materia en el espacio- tiempo.
La afirmación que esta ecuación tiene es esta: la curvatura del espacio-tiempo es proporcional a la acumulación de materia-energía. Es decir, donde haya más concentración de materia-energía el espacio estará más curveado. Esto significa que el espacio-tiempo experimenta también la fuerza de la gravedad y de dobla en la presencia de cosas.
¿Qué implicaciones tiene la Relatividad?
1. La Relatividad permitió descubrir que el Universo se está expandiendo y el big-bang
2. La Relatividad permitió entender mejor la naturaleza dual de la luz, y con ello la mecánica cuántica, que explica mejor el mundo que la mecánica clásica.
3. El que la Relatividad haya sido una gran unificación de las leyes de la física (antes cada ámbito tenía sus leyes) ha desatado la sospecha de que el universo está atravesado por una racionalidad fortísima, como si hubiera salido de una mente.
IDEAS SOBRE LA RELATIVIDAD. MATERIAL CRUDO.
Una de las grandes unificaciones de la ciencia la realizó Newton, cuando descubrió unas leyes que unifican la mecánica de los cuerpos celestes con la de los cuerpos terrestres. Son sus tres leyes mecánicas (inercia, masa, acción-reacción) y la de gravitación.
La segunda gran unificación la consiguió en el siglo 19 James Maxwell, que consiguió demostrar que todos los fenómenos con ondas (electromagnéticos) obedecían a 4 ecuaciones. Con esto unificó fenómenos que parecían tan dispares como el magnetismo, la electricidad y la luz.
Hacia el 1900, cuando Einstein empezó a estudiar física, la física tenía dos sets de leyes:
a) la mecánica de Newton explicaba el comportamiento de los cuerpos y
b) la electromagnética de Maxwell explicaba el comportamiento de las ondas.
Lo que Einstein descubrió entre 1905 y 1916 fue un set de ecuaciones que unificaban ambas mecánicas. A esta teoría se la llamó la Teoría de la Relatividad.
Einstein concibió esta teoría, buscando la respuesta a dos preguntas que estaban flotando entre los físicos a principios del siglo 20:
1. ¿Por qué no se podía medir la velocidad absoluta de la Tierra? En 1887 se había hecho un experimento (Michelson y Morley) para medir la velocidad absoluta de la Tierra, comparándola con el éter, o el espacio. En un aparato, llamado inteferómetro, se iban a meter dos rayos de luz y las franjas de interferencia se iban a desplazar por la diferencia entre la velocidad de la tierra y de éter. Pero el experimento no detectó ningún desplazamiento. Y no se sabía por qué. Parecía como si la masa del aparato se contrajera levemente con la velocidad de la tierra y con eso compensara exactamente el desplazamiento de la luz.
2. ¿Es la luz una onda o una partícula? Para esos años se pensaba que la luz era una onda, una energía que viajaba apoyada en el espacio. Pero en 1900, Plank descubrió que la luz se comportaba a veces como un cuerpo: si la luz golpeaba un metal, se desprendía un electrón (efecto foto-eléctrico).
Cómo Einstein respondió a los interrogantes
Einstein le dio mucho pensamiento a esto y acabó dándose cuenta de que para poder explicar estos misterios sobre el comportamiento de la luz había que rechazar (o matizar) algunos postulados de la física newtoniana:
1. había que rechazar que el espacio era algo absoluto, fuera de las cosas, sino que el espacio había que verlo como otra “cosa” más, que experimenta también la fuerza de la gravedad, y se dobla, se contrae y se expande cuando se encuentra con otras cosas. Las teorías de Newton y Maxwell concebían el espacio como lleno de un “éter”, como si fuera una sustancia, aunque fuera en el vacío. En la mecánica de newtoniana, ese éter explicaba la inercia que experimentaban los cuerpos al cambiar de movimiento. En la electromagnética de Maxwell ese éter explicaba cómo se desplazaban las ondas. Es decir, a principios del siglo 20 se pensaba que el espacio era absoluto, era un transfondo en el que estaban colocadas las cosas, pero que estaban fuera de las cosas.
2. había que rechazar la segunda ley de Newton que dice que la masa de un cuerpo siempre es constante, que es siempre la proporción entre la fuerza que recibe un cuerpo, y la aceleración con la que reacciona a esa fuerza (F = m a). Einstein estableció que la masa aumenta a medida que se le aplica más fuerza, más energía. Esto tiene como consecuencia el que la energía se puede transformar en masa, o la masa en energía. Esto quedó expresado en su famosa ecuación E = m c2.
3. estableció que había algo absoluto: la velocidad de la luz. La velocidad de la luz es la velocidad máxima absoluta que puede alcanzarse en el universo. Y es independiente de la velocidad del cuerpo que se está acercando a la fuente de luz.
Qué significan las ecuaciones de campo de Einstein
Apoyado en estas concepciones, formuló un set de ecuaciones que servían para explicar dónde y cuándo se posicionan las cosas en el universo:
Gµ?= 8p GN Tµ?
Donde:
Gµ? = “Tensor de Einstein” que mide la Curvatura del Espacio-Tiempo
GN = Constante de Gravitación de Newton: 6.6 x 10-11 N (m/Kg)2
Tµ? = “Stress Energy Tensor” que describe cómo la materia y la energía se distribuyen en el espacio y el tiempo
La ecuación de Einstein se lee así:
Curvatura de Espacio-Tiempo = Una constante x Distribu
ción de la materia en el espacio- tiempo.
La afirmación que esta ecuación tiene es esta: la curvatura del espacio-tiempo es proporcional a la acumulación de materia-energía. Es decir, donde haya más concentración de materia-energía el espacio estará más curveado. Esto significa que el espacio-tiempo experimenta también la fuerza de la gravedad y de dobla en la presencia de cosas.
El momento en que Einstein descubrió la Relatividad
Con Besso, su amigo, discurriendo en la oficina de patentes…
They talked for hours, discussing every aspect of the problem, including Newton’s concept of absolute space and time, which seemed to violate Maxwell’s constancy of the speed of light. Eventually, totally exhausted, Einstein announced that he was defeated and would give up the entire quest. It was no use; he had failed.
[…] Then it suddenly hit him, the key to the entire problem. Einstein recalled, “A storm broke loose in my mind.” The answer was simple and elegant: time can beat at different rates throughout the universe, depending on how fast you moved. Imagine clocks scattered at different points in space, each one announcing a different time, each one ticking at a different rate. One second on Earth was not the same length as one second on the moon or one second on Jupiter. In fact, the faster you moved, the more time slowed down.
Qué significa Relatividad en Física
En física, la palabra relatividad tiene un significado opuesto al que tiene en el lenguaje ordinario. En física, el principio de relatividad lo que busca es que todas las leyes de la naturaleza que se encuentren sean válidas en todos los marcos de referencia: en todos los tiempos, en todos los lugares, en todas las circunstancias. Y que no sean dependientes de quién sea el que los observa. En lenguaje corriente, a esto se le llamaría, más que relatividad, absolutividad.
Por lo dicho anteriormente, esta “relatividad” lleva implícita dos cosas:
1. Un principio de simetría: las cosas deben de verse iguales desde cualquier ángulo. Esto de la simetría luego tendrá unas grandes implicaciones para encontrar el GUT o una teoría general unificadora de toda la física.
2. Una cierto principio de conservación: para que todo el mundo que vea una realidad la vea igual, la cantidad de energía debe ser la misma.

Hay una objeción bien fuerte a que exista un Dios bueno: la existencia del mal, en su doble vertiente: los males de la naturaleza (catástrofes, etc) y, sobre todo el mal moral. ¿Cómo puede existir un Dios que sea bueno y todo poderoso y que permita la existencia del mal? Solo se ven dos posibilidades: o Dios no es tan poderoso, y existe un Dios del Mal tan poderoso como Él, o Dios no es tan bueno, y no le preocupa la felicidad de sus criaturas. Esto es lo que se conoce en teología como el “misterio de la iniquidad”(2Ts 2,7), que ha llevado a mucha gente a apartarse de Dios (Lenin, cuando fusilaron a su hermano). Debemos por tanto examinar el origen del mal.

+ Debemos distinguir dos tipos de males: el mal físico y el mal moral. Mal físico es: un terremoto, una inundación, la enfermedad, el calor sofocante, etc. Mal moral es: el que haya gente -nosotros- que no hagamos lo que se debe hacer: el egoísmo, el orgullo, la vanidad.
¿Por qué existe el mal físico?:
+ ¿No podía Dios haber hecho un mundo perfecto, en el que no pudiera existir ningún mal físico? (no incluimos ahora el moral) “En su poder infinito, Dios podría haber creado siempre algo mejor. Sin embargo, en su sabiduría y bondad infinitas, Dios quiso libremente crear un mundo en ‘estado de vía’ hacia su perfección última. Este devenir trae consigo en el designio de Dios, junto con la aparición de ciertos seres, la desaparición de otros; junto con lo más perfecto, lo menos perfecto; junto con las construcciones de la naturaleza también las destrucciones. Por lo tanto, el bien físico exige también el mal físico mientras la creación no haya alcanzado la perfección.” (Cat 310). Las catástrofes, la muerte de criaturas (no la del hombre) se explica porque el mundo está en una evolución hacia su perfección. Llegaremos a un mundo, según el plan de Dios, donde esto no ocurra. Esta es la explicación del mal físico.
+ Pero queda por responder por qué Dios quiso un mundo ‘en estado de vía’ caminando hacia la perfección, en vez de un mundo perfecto. Esto se entenderá mejor cuando se entienda la misión para la que Dios diseñó al hombre: dirigir la creación a su perfección, ganarse el cielo haciendo mejor la tierra.
Por qué existe el mal moral, el pecado:
+ Muchas religiones tratan de dar respuesta a esta pregunta. El Cristianismo, en este sentido, tiene una explicación bastante “original”. El Cristianismo no cree que exista un Principio del Mal, un dios del mal, que ha sido la explicación más común en la historia. El Cristianismo cree que, al principio de la Historia hubo un pecado que ha marcado a la Humanidad y a toda la creación. [De hecho, se dice que “no hay rasgo del mensaje cristiano que no sea en parte una respuesta a la cuestión del mal” Cat 309. (cambiar esto de sitio)]
+ Lo que el Cristianismo cree es que, principio de la Historia, ocurrió un “cataclismo moral”. Los primeros hombres que Dios creo fueron puestos a prueba y fallaron y pecaron (como también pasó con algunos Ángeles). La prueba parece que consistió en meterles alguna desconfianza respecto a Dios, y efectivamente, sucumbieron. Ahora no podemos hacernos una idea de la gravedad de lo ocurrido, porque para nosotros el pecado es algo que lo vemos y tocamos todos los días. Pero hay que tener presente que ellos no tenían la naturaleza dañada, como nosotros. Ellos sabían perfectamente quién era Dios y quién ellos y su voluntad no estaba dañada por la concupiscencia. Por lo cual, este pecado fue de pura malicia; los nuestros tienen casi siempre algo de debilidad de la voluntad e ignorancia del entendimiento. Por lo tanto fue un evento grandísimo.
El Dios Todopoderoso… por ser soberanamente bueno, no permitiría jamás que en sus obras existiera algún mal, si El no fuera suficientemente poderoso y bueno para hacer surgir un bien del mismo mal (S. Agustín, enchir. 11, 3). (Cat 312)
Con el tiempo, se puede descubrir que Dios, en su providencia todopoderosa, puede sacar un bien de las consecuencias de un mal, incluso moral, causado por sus criaturas: “No fuisteis vosotros, dice José a sus hermanos, los que me enviasteis acá, sino Dios… aunque vosotros pensasteis hacerme daño, Dios lo pensó para bien, para hacer sobrevivir… un pueblo numeroso” (Gn 45, 8;50, 20; cf Tb 2, 12-18 Vg.). Del mayor mal moral que ha sido cometido jamás, el rechazo y la muerte del Hijo de Dios, causado por los pecados de todos los hombres, Dios, por la superabundancia de su gracia (cf Rm 5, 20), sacó el mayor de los bienes: la glorificación de Cristo y nuestra Redención. Sin embargo, no por esto el mal se convierte en un bien. (Cat 313)
1) ¿Cómo se transmite el pecado original?
+ Pero lo más difícil de entender no es ¿por qué pecaron? Aunque sí es difícil, sino 1) qué consecuencias tuvo ese pecado 2) porqué y como se transmite ese pecado de padres a hijos.
+ Este pecado original ocurrió, por decirlo figurativamente, durante el “proceso de diseño”, fue parte de ese proceso. Lo que Dios estaba creando no era dos individuos, sino la Naturaleza Humana, con todas las características que iba a tener. Por lo tanto, lo que se dañaron no fueron dos personas, si no la naturaleza humana. Con esto se explica la transmisión.

2) ¿Qué consecuencias tuvo ese pecado?
+ Lutero dice que dejó al hombre tan dañado que es incapaz de hacer nada bueno. Qué todo lo que hace es pecar, hasta cuando dos esposos se quieren. (lo que ocurre es que Dios no se lo toma en cuenta). Los católicos creemos que: dejó la naturaleza herida. Y que es distinto la concupiscencia que el pecado. El hombre es capaz de obras buenas.
+ Concretamente nosotros creemos que:
+ 1) Adán rompió con Dios, perdió su amistad, la gracia santificante, y pasó de ser hijo de Dios a ser una criatura más. Con esto le falta un elemento esencial para su felicidad, porque había sido elevado al orden sobrenatural. Por lo que en el orden puramente natural, como animal racional, no puede conseguir la misma felicidad que alcanzan las otras criaturas.
+ 2) Se rompió el equilibrio dentro del hombre: además de la Gracia; y los dones preternaturales, la naturaleza humana quedó herida por los “vulnera pecati”: a) el alma no tendrá ya dominio sobre el cuerpo, es decir, aparecerá la concupiscencia de la carne y la del espíritu; el cuerpo quedará sometido al sufrimiento y a la muerte; la inteligencia, partiendo de la ignorancia más profunda tendrá que recurrir unicamente a los sentidos para enriquecerse; la voluntad, arrastrada por los apetitos inferiores y mal iluminada por la inteligencia, se extraviará y buscará la felicidad donde no está
+ 3) Se rompió el orden del hombre con la creación: el mundo material estaba destinado para ayudar al hombre en su ascensión hacia Dios, y el hombre estaba diseñado para ser “la voz” de la creación en su canto de la Gloria de Dios. Al romper el hombre con Dios, los seres inferiores dejaron de obedecer con prontitud al hombre. Solo con un penoso trabajo logrará tomar algún control del mundo material, y muchas veces las criaturas serán un estorbo para la felicidad del hombre. No es que el mundo material esté corrompido en sí mismo, sino que el hombre y el mundo estaban diseñados como una unidad. Desde el día que el corazón del hombre se apartó de Dios, las cosas quedaron desunidas, desorientadas, reducidas a un estado de valores brutos y sin rumbo.
+ La verdad es que nada ha sido radicalmente alterado pero todo ha sido desunido. El hombre se ve obligado a reunir las piezas de su ser y del mundo, cuando Dios se había ofrecido a ahorrarle ese trabajo. Y esta es la historia de la humanidad hasta hoy: un paciente y largo esfuerzo por dominar la naturaleza y a sí mismo.

Ideas sobre complejidad

Enero 2010

Aspectos de la Teología que se entienden Mejor con la Complejidad

1. Si el mundo en un sistema complejo, sabemos que no está destinado a alcanzar un óptimo; no tiene una tendencia al crecimiento lineal. Esta idea se adapta mejor a la visión de la historia que la fe nos pinta: el mundo no está llamada a alcanzar el paraíso en esta propia Tierra. De hecho el Apocalipsis nos dice que el final acontecerá en un momento de baja de la historia.
2. Se entiende mejor que la Iglesia tenga que se a la vez, jerárquica y carismática: que tenga que estar escuchando a la misma vez hacia abajo, a ver que el Espíritu Santo suscita, como hacia arriba, a ver qué dice la jerarquía. De hecho, el papel de cualquier jerarquía o liderato en una organización, es el de validad la consonancia entre las iniciativas que vienen de abajo, y la misión de la organización. La fuerza está abajo, la visión arriba.
   
3. No sólo el hombre tiene vocación a la santidad, sino toda la creación está llamada a Dios.
4. La materia es más que las cosas tangibles, la materia no es más que una forma de estar la energía. Todo lo material es energía. Este hecho tiene varias consecuencias interesantes:
   1. Todo está conectado. Más aún, posiblemente todo lo material pueda verse como manifestaciones variadas de una única energía. Esto explica mejor el que los animales y las plantas existan para ser usados por otros animales, que limitan o incluso eliminan su “desarrollo como individuos”. Cuando una vaca mata con su rabo a una mosca que la estaba molestando, no puede pensarse que la muerte ha venido a frustra la vida se ese individuo-mosca, que posiblemente tenía crías que también se morirán porque su mamá nunca llegó con alimento para ellas. Tanto la mosca con las crías siguen estando en la naturaleza bajo otro formato. Los únicos individuos que tienen una existencia que tiene que justificarse a sí misma, son las personas. Esto no impide que gran parte del sentido de la vida de una persona se entiende por su conexión con los demás. La existencia de un niño que muere muy pequeño no se justifica enteramente por la cantidad de amor que haya “generado” en su vida. Hace falta, para entender su existencia, verla en el contexto de toda la historia y de la conexión de esta vida físicamente-truncada con las otras vidas.
5. Una de las principales lecciones que nos quiere dar la Biblia en su relato de la creación es enseñarnos que la explicación del mal que hay en el mundo no es que haya un dios del mal (junto al un dios del bien). La creación toda proviene del Dios del Bien que, además, es el único Dios: no existe un dios del mal. Sí existen agentes del mal, pero fueron creados por el Dios Bueno, por lo tanto, en el fondo, tienen que servir para un propósito bueno. De hecho la Biblia es el mejor lugar para entender del gran misterio que inquieta a todos los hombres de todas las épocas: por qué existe el mal. Se puede decir que todas las religiones pretenden dar una respuesta a esta pregunta de la razón del ser del mal. Por eso los hombres se interesan por la religión, entre otras causas, cuando experimentan el mal muy de cerca. Una de las religiones más recientes, el evolucionismo materialista o simplemente el materialismo, consiste, en esencia, en una explicación coherente de la existencia del mal.
6. La física cada vez nos revela más claro que la estructura del universo es la de un pensamiento. También nos revela la cosmología, que tuvo un comienzo, y la termodinámica, que tiene un final. La complejidad nos revela que el ser humano, lejos de ser un accidente evolutivo, es “el esperado”. Todo lo anterior nos permite hipotetizar que el universo es, en el fondo, un inmenso piropo, un pensamiento de amor, lanzado, posiblemente, de una persona a otra. La fe, por su lado, nos confirma que la creación es un fruto gratuito de un amor.
7. Es común que pensemos que la inteligencia humana es, en el fondo, capacidad de procesar información. La persona más inteligente, según esto, es la que logra extraer más consecuencias más rápidamente tanto de las observaciones particulares como de las leyes generales. Pero este tipo de inteligencia es, en el fondo, una evolución de la inteligencia de los animales que también procesan información. No puede ser esto la inteligencia que nos hace criaturas espirituales. El efecto más propio del espíritu del hombre no su capacidad de procesar información, es su libertad,. La libertad es algo muy sutil y transparente: es la capacidad de seguir o no seguir un estímulo surgido de nuestra naturaleza (materia + historia). Por eso, la libertad solo ocupa un “bit” de información: es un 0 ó un 1; aceptamos o no aceptamos. Todo lo que no es libertad le viene al hombre de su parte material (herencia + experiencia; es decir: ADN + aprendizaje). Una consecuencia de esto, es que es muy difícil saber qué en una persona es fruto de su libertad y qué le vino dado, le vino con se equipaje de ADN + experiencias. La verdad de una persona es lo que esa persona haya hecho con su libertad (de esto es de lo único que será juzgado al final). Es prácticamente imposible saber que hay de verdadero en los éxitos y fracasos de una persona. Por eso es que nos prohíbe juzgarnos ni si quiera a nosotros mismos.
8. Hay un criterio que tiene que cumplir la explicación de la realidad que finalmente se consiga: que sea compatible con el ateísmo. Y esto es así porque sabemos, por la fe, que Dios no puede obligar a nadie a aceptarle. Esto implica que, en cualquier explicación del universo siempre habrá la posibilidad para el que quiera negar a Dios de hacerlo racionalmente. La cosmovisión evolucionista que se está dibujando al presente, cumple con este criterio.
9. ¿Cómo se compatibiliza que haya surgido la vida –que es una tendencia al orden- con el que exista la segunda ley de la termodinámica –que prescribe una tendencia al desorden? La explicación radica en que la vida no viola la segunda ley porque lo que la segunda ley realmente dice es que para poder ir del desorden hacia el orden hay que consumir energía útil, es decir, hay que aumentar la entropía en el universo. Y esto efectivamente se da: la vida existe por el consumo de energía solar. Una implicación que tiene esta visión de la segunda ley es que, para que pudiera haber vida en el universo hizo falta toda el desarrollo anterior que acabó permitiendo la existencia de estrellas como nuestro sol: nuestro universo no es tan grande: es el necesario para que pueda llevarse a cabo su propósito.
10. A la verdad no se llega por el choque dialectico entre los que tienen la razón y los que no. A la verdad se camina en directo, porque estamos diseñados para ella. Por lo tanto, no debemos usar como estrategia para encontrar la verdad sobre el universo, el atacar los argumentos de los que dicen que el universo no habla de una inteligencia creadora. Debemos de seguir como estrategia el usar las verdades reveladas como guía para orientar nuestros pasos en la búsqueda de la verdad natural. Con esto, veremos, entre otras cosas, que hasta podemos aprovechar muchas verdades descubiertas por los que no tienen fe, para caminar juntos hacia una verdad a la que estamos llamados todos.

“Self-thinning” is a term that refers to the progressive density-dependent mortality

that occurs within an even-age group of plants as the individuals grow in size.

The Self-Thinning Rule describes the dynamics of self-thinning mathematically:

B = CN^-1/2

Where, B = biomass of the population, C = a constant, and N = the density of plants.

When this equation is plotted on a graph of the log biomass (log B) vs. log density

(log N), the result is a straight-line negative slope called the thinning line (Fig 4.1).

This thinning line is a boundary of maximum total biomass for the population at a given density and is considered a carrying capacity. (Tomado de “Population Dynamics”, Ecology Connections, University of Calgary, December 2004)